1. 闭环与 PID

控制器最基本的问题是：目标已经给定，机器人却因为惯性、摩擦、负载、外力和模型误差不会自动到达目标。闭环反馈的作用，就是不断比较“想要的状态”和“真实状态”，再用误差修正控制输入。

1.1 开环局限

开环控制只按预先设定的命令执行：

目标命令 -> 执行器 -> 机器人运动

它不关心机器人到底有没有到达目标。比如你给一个关节固定电压，让它转 0.5 秒后停止。如果关节负载变重、摩擦变大、供电变低，它实际转过的角度都会变。

闭环控制多了传感器反馈：

目标状态 -> 比较误差 -> 控制器 -> 执行器 -> 机器人
              ^                         |
              |                         v
              +-------- 传感器反馈 -------

它每个控制周期都问一次：

• 当前状态是多少？
• 目标状态是多少？
• 差了多少？
• 下一步应该输出多大控制量？

机器人关节、移动底盘、机械臂末端、四足足端接触，几乎都离不开这条闭环。

1.2 P 控制

比例控制是最简单的反馈：

其中 是目标和当前状态的误差。 越大，误差带来的修正越强。

直觉上，P 控制像一根弹簧：

• 离目标越远，弹簧拉力越大。
• 离目标越近，拉力越小。
• 太小，系统软绵绵，回目标很慢。
• 太大，系统容易冲过目标，来回振荡。

对一个关节位置控制，可以写成：

这里 是目标关节角， 是当前关节角， 是输出力矩。

1.3 D 控制

只用 P 控制时，关节会因为惯性冲过目标。D 项根据误差变化速度输出控制量：

在关节控制里，常写成：

如果目标速度 为 0，那么 D 项会在关节运动过快时产生反向阻尼。它像汽车避震器，主要作用是抑制振荡。

PD 控制是机器人里非常常见的底层控制器。很多强化学习 locomotion 策略并不直接输出电机电流，而是输出目标关节角，再由 PD 控制器在高频闭环里跟踪。

1.4 I 控制

积分项累计过去的误差：

它适合处理长期存在的小偏差。例如电机负载导致 P 控制总是差一点到不了目标，积分项会不断累积这个小误差，直到控制输入足够抵消负载。

但积分项也有副作用：

• 大误差持续时间太长时，积分会越积越大。
• 控制量已经饱和时，积分还在继续累积，会导致严重超调。
• 传感器有偏置或低频噪声时，积分会把偏差放大。

这就是工程里常说的积分饱和。它不是理论上的小问题，而是真机上很常见的失稳来源。

1.5 PID 组合

完整 PID 写成：

三项可以这样理解：

控制项	直觉	主要解决	常见风险
P	误差越大，修正越强	响应速度	过大振荡，过小迟钝
I	长期误差慢慢补回来	稳态误差	积分饱和，超调
D	看误差变化趋势	阻尼和稳定性	放大噪声

机器人关节控制里，最常见的是 PD 或带很小积分项的 PID。原因是关节编码器速度反馈通常足够好，而积分项在高动态任务里容易带来额外风险。

1.6 离散 PD

真实控制器在固定周期内运行。假设控制周期是 dt，关节目标是 q_des，当前关节角是 q，当前关节速度是 dq：

def pd_control(q_des, dq_des, q, dq, kp, kd):
    position_error = q_des - q
    velocity_error = dq_des - dq
    torque = kp * position_error + kd * velocity_error
    return torque

如果目标是定点控制，dq_des 通常设为 0。如果目标是一条轨迹，dq_des 应该来自轨迹本身，而不是简单设 0。

1.7 调参流程

PID 调参不要三个参数一起动。推荐顺序：

1. 先只开 P，让系统能朝目标运动。
2. 慢慢增大 P，直到响应够快但还没有严重振荡。
3. 加 D，把过冲和振荡压下来。
4. 如果存在稳定后的长期偏差，再少量加 I。
5. 一旦加 I，必须考虑积分限幅和输出饱和。

下一章会把这些工程细节拆开：离散化、限幅、抗积分饱和、微分滤波和真机调参顺序。