A 关键公式

title: A 关键公式

description: 汇总医学影像中最常见、最重要、跨模态通用的公式。使读者在阅读主教程时能快速查阅与理解数学推导。适合零基础读者快速建立公式框架。

A 关键公式

1.引言

医学影像是跨越物理学、数学、工程学与医学的典型交叉领域。无论是 CT 的投影重建、MRI 的傅里叶编码，还是 PET 的统计建模，这些成像技术的核心都建立在一系列清晰、可解释、可验证的数学公式之上。理解这些公式不仅能帮助读者更好地掌握影像生成的原理，也能为深入学习图像重建、图像处理、深度学习建模等后续内容奠定坚实基础。

本章旨在汇总医学影像中最常用、最关键、跨模态通用的数学公式，并按照“从基础概念 → 各模态成像模型 → 图像处理 → 深度学习”的路径进行组织。读者可以将本章视作一个随查随用的快速参考（Quick Reference），在学习主教程时随时回溯；也可以作为进一步研究影像物理与重建算法时的入门索引。

为了保证连贯性，本章采用简明的符号体系与统一的表述方式，并在必要时提供物理意义的解释。即便没有深厚的数学基础，读者也能通过本章建立对医学影像数学框架的理解，并将其应用于实践中的图像分析与算法开发。

2.医学影像通用数学基础

本节介绍医学影像中跨模态通用的数学原理，包括坐标系、采样、卷积及噪声建模。这些概念在 CT、MRI、X-ray、PET、超声的建模与重建中均扮演关键角色。

2.1 坐标系与图像几何

医学影像中的几何关系主要涉及 像素/体素坐标 → 物理世界坐标 的映射，以及常见的仿射变换(旋转、缩放、平移等)。

(1)像素/体素坐标 → 物理空间坐标

影像文件(如 DICOM、NIfTI)通常提供一个 4×4 的空间变换矩阵，用于将体素坐标 $(i,j,k)$ 转换为物理坐标 $(x,y,z)$：

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]={\mathbf{M}}_{\text{DICOM }}\left[\begin{array}{c}i\\ j\\ k\\ 1\end{array}\right]$$

• ${\mathbf{M}}_{\text{DICOM}}$ 包含：

  • 体素间距(spacing)
  • 图像方向(orientation)
  • 图像原点(origin)

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(2)DICOM 空间变换矩阵（典型形式）

$${\mathbf{M}}_{\text{DICOM}}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R}\cdot \text{diag}(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z)& \mathbf{T}\\ 0& 1\end{array}\right]$$

其中：

• $\mathbf{R}$：方向余弦矩阵(3×3，指定图像轴在世界坐标系的方向)
• $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z$：体素大小(单位 mm)
• $\mathbf{T}$：原点坐标(患者坐标系下的 mm)

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(3)常见几何变换矩阵

● 缩放(Scaling)

$$\mathbf{S}=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]$$

● 旋转(Rotation，以 z 轴为例)

$${\mathbf{R}}_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

● 仿射变换(Affine Transform)

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}$$

在齐次坐标中表达为：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ 1\end{array}\right]$$

仿射变换广泛用于图像配准、重采样和多模态对齐。

2.2 图像采样与卷积

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(1)卷积定义（连续/离散）

● 连续卷积

$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

● 离散卷积(信号)

$$(f\ast g)[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f[k]g[n-k]$$

● 2D 图像卷积(常用于滤波)

$$I^{\prime }(x,y)=\sum _m\sum _{n}I(x-m,y-n)K(m,n)$$

卷积在 CT 滤波反投影(FBP)、MRI 去噪、图像平滑、锐化中都被频繁使用。

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(2)下采样与上采样

● 下采样(Downsampling)

$$x_{\text{down}}[n]=x[kN]$$

N = 2 时表示宽高减半。

● 上采样(Upsampling)

插 0 然后滤波：

$$x_{\text{up}}[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/N],& n\mathrm{mod}N=0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

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(3)常见插值公式

● 双线性插值(2D)

$$f(x,y)=\sum _{m=0}^1\sum _{n=0}^{1}f(i+m,j+n)(1-|x-i-m|)(1-|y-j-n|)$$

● 三线性插值(3D)

用于体数据(CT/MRI)重采样，为双线性插值的三维扩展。

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(4)空域 ↔ 频域关系（傅里叶变换基础）

● 傅里叶变换(连续)

$$F(\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$$

● 离散傅里叶变换(DFT)

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

● 卷积定理(医学影像极为重要)

$$\mathcal{F}\{f\ast g\}=\mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}$$

说明：
​卷积在频域等价于乘法，是 CT 滤波反投影(FBP)和 MRI 重建的核心。

2.3 噪声模型

医学影像中常见的噪声主要来自探测器、电子噪声、光子统计噪声等。

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(1)加性高斯噪声(MRI / CT 常见)

$$y=x+\mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$

适用场景：

• CT 重建后图像
• MRI 实部/虚部信号

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(2)泊松噪声(PET / X-ray)

PET、X-ray 属于 ​光子计数过程，天然满足泊松模型：

$$y\sim \text{Poisson}(x)$$

应用：

• PET 投影数据(sinogram)
• X-ray 强度采集
• CT 投影数据的噪声建模

泊松噪声在低剂量 CT、低计数 PET 中尤为显著。

3. CT（Computed Tomography）的关键公式

本节总结 CT 成像与重建中最核心的数学公式，包括 X 射线衰减模型、Radon 变换、滤波反投影(FBP)以及 CT 图像的 HU 转换和窗口化处理。这些公式构成了现代 CT 成像技术的数学基础。

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3.1 X-ray 衰减模型

X 射线穿过组织时会被吸收与散射，其衰减过程由 Lambert–Beer 定律 描述，是 CT 物理模型的起点。

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(1)Lambert–Beer 定律

当 X 射线束穿过介质时，探测器接收到的强度 $I$ 与入射强度 $I_0$ 的关系为：

$$I=I_0\exp (-{\int }_L\mu (s)ds)$$

其中：

• $\mu (s)$：线性衰减系数 (linear attenuation coefficient)
• $L$：光线路径
• $I_0$：入射光子强度
• $I$：探测器接收到的强度

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(2)投影数据(log-transform)

CT 投影通常进行对数变换，将指数衰减线性化：

$$p=-\ln \left(\frac{I}{I_0}\right)$$

可得到：

$$p={\int }_L\mu (s)ds$$

这就是 Radon 变换的物理来源。

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3.2 Radon 变换

Radon 变换描述了物体在不同角度下的线积分，是 CT 投影数据(sinogram)的数学表示。

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(1)Radon 变换定义

二位对象 $\mu (x,y)$ 在角度 $\theta$ 上的投影写为：

$$p(\theta ,t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mu (x,y)ds$$

将积分路径参数化后：

$$p(\theta ,t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mu (t\cos \theta -s\sin \theta ,t\sin \theta +s\cos \theta )ds$$

其中：

• $\theta$：射线方向
• $t$：射线到原点的垂直距离
• $p(\theta ,t)$：sinogram 数据

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(2)Radon 反变换(理想情况)

理论上，物体可通过 Radon 反变换恢复：

$$\mu (x,y)={\mathcal{R}}^{-1}\{p(\theta ,t)\}$$

实际重建必须结合滤波反投影(FBP)。

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3.3 滤波反投影（FBP）

FBP(Filtered Back Projection)是经典 CT 重建算法，是目前临床普遍使用的重建框架之一。

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(1)卷积滤波(Filtering Step)

对每个角度的投影 $p(\theta ,t)$ 做滤波：

$$\tilde{p}(\theta ,t)=p(\theta ,t)\ast h(t)$$

其中：

• $h(t)$：重建滤波器，例如

  • ​Ram-Lak(理想高通)
  • Shepp-Logan
  • Hanning、Cosine 等

Ram-Lak 滤波器的频域表达：

$$H(\omega )=|\omega |$$

滤波的作用是补偿反投影带来的低频增强。

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(2)反投影(Back Projection)

将所有角度的滤波投影反投影到图像空间：

$$\mu (x,y)={\int }_0^{\pi }\tilde{p}(\theta ,x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta$$

意义：

• 将 1D 滤波投影“拉回”属于它的二维位置
• 所有角度累加即可恢复物体衰减系数分布

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(3)FBP 总公式

$$\mu (x,y)={\int }_0^{\pi }[p(\theta ,t)\ast h(t){]}_{t=x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta$$

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3.4 CT 值（HU）转换公式

CT 图像通常以 HU(Hounsfield Unit)为单位，用来衡量组织对 X 射线的衰减能力。

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(1)HU 标准化公式

$$\text{HU}=1000\cdot \frac{\mu -{\mu }_{\text{water}}}{{\mu }_{\text{water}}}$$

• $\mu$：组织衰减系数
• ${\mu }_{\text{water}}$：水的衰减系数(基准)
• 水 = 0 HU
• 空气 = –1000 HU

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(2)线性窗函数(Windowing)

显示 CT 图像时需进行 windowing：

$$I_{\text{display}}=\text{clip}(\frac{HU-(WL-\frac{WW}{2})}{WW},0,1)$$

其中：

• $WW$：Window Width(窗宽)
• $WL$：Window Level(窗位)
• clip(·)：将结果限制在 [0,1]

示例：

• 软组织窗口：WL=40, WW=400
• 肺窗口：WL=-600, WW=1500
• 骨窗口：WL=400, WW=2000

4. MRI（Magnetic Resonance Imaging）的关键公式

MRI(磁共振成像)的数学基础主要包括核磁共振信号的产生(Larmor 进动与 Bloch 方程)、组织弛豫过程(T1、T2)、以及 k-space 的傅里叶编码与重建。本节给出 MRI 成像中最核心的公式。

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4.1 脉冲序列基础

MRI 信号由磁场与射频脉冲(RF pulse)作用下的核磁矩行为决定，基本动力学由 Larmor 频率和 Bloch 方程描述。

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(1)Larmor 频率公式

核自旋在静磁场 $B_0$ 中的进动角频率为：

$${\omega }_0=\gamma B_0$$

其中：

• ${\omega }_0$：Larmor 频率
• $\gamma$：旋磁比(proton: $\gamma /2\pi \approx 42.58\text{ MHz/T}$)
• $B_0$：主磁场强度

说明：高场强(如 3T)会带来更高的信噪比(SNR)。

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(2)Bloch 方程(简式)

描述磁化矢量 $\mathbf{M}=(M_x,M_y,M_z)$ 在磁场中的动态变化：

$$\frac{d\mathbf{M}}{dt}=\gamma (\mathbf{M}\times \mathbf{B})-\frac{M_x\hat{i}+M_y\hat{j}}{T_2}-\frac{(M_z-M_0)\hat{k}}{T_1}$$

其中：

• 第一项：进动(precision)
• 第二项：横向弛豫 T2
• 第三项：纵向弛豫 T1
• $M_0$：平衡磁化强度

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4.2 T1 / T2 弛豫信号模型

组织在 RF pulse 后恢复到平衡状态的过程由两种弛豫描述：

• T1：纵向恢复
• T2：横向衰减

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(1)T1 恢复(Recovery)

$$M_z(t)=M_0(1-e^{-t/T_1})$$

含义：

• $M_z(t)$：随时间恢复的纵向磁化
• $T_1$：纵向弛豫时间
• 白质、灰质、脑脊液具有不同的 T1 值，用于对比增强

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(2)T2 衰减(Decay)

$$M_{xy}(t)=M_0{e}^{-t/T_2}$$

说明：

• T2 反映横向磁化的衰减速度
• 脑脊液 T2 长 → 信号亮
• 白质 T2 短 → 信号暗

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(3)Proton Density(PD)信号表达

未强烈依赖 T1/T2 的情况下，信号主要由质子密度(PD)决定：

$$S_{\text{PD}}\propto \rho (1-e^{-TR/T_1})e^{-TE/T_2}$$

在 PD 强调序列中：

• 选 长 TR → 消除 T1 影响
• 选 短 TE → 消除 T2 影响

最终信号约似：

$$S_{\text{PD}}\approx \rho$$

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4.3 k-space 采样与重建

MRI 数据首先采样在 k-space(频域) 中，而不是直接得到图像。k-space 采样与二维傅里叶变换直接相关。

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(1)MRI 信号方程(二维傅里叶编码)

物体磁化分布 $\rho (x,y)$ 在频率编码与相位编码梯度作用下，采样信号为：

$$S(k_x,k_y)=\iint \rho (x,y)e^{-j2\pi (k_{x}x+k_{y}y)}dxdy$$

其中：

• $S(k_x,k_y)$：采集到的 k-space 数据
• $k_x,k_y$：由梯度磁场决定的编码量
• $\rho (x,y)$：被成像组织的质子密度或复合信号

这是 二维傅里叶变换 的标准形式。

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(2)逆 Fourier 重建

图像恢复通过对 k-space 做逆傅里叶变换：

$$\rho (x,y)=\iint S(k_x,k_y)e^{j2\pi (k_{x}x+k_{y}y)}d{k}_{x}d{k}_y$$

数值实现：

$$\rho ={\mathcal{F}}^{-1}\{S\}$$

临床 MRI 设备中采用快速傅里叶变换(FFT)。

5. 超声成像（Ultrasound）关键公式

超声成像以机械波的传播、反射与散射为基础，其信号处理链路相比 CT/MRI 更依赖波动方程、回波强度及包络检测。本节总结超声 B-mode 成像中最重要的数学公式。

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5.1 声波传播基本关系

超声本质是纵波(压力波)，在组织中传播时，其速度、频率和波长存在基本物理关系。

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(1)波速、频率与波长

声速 $c$、频率 $f$、波长 $\lambda$ 的关系为：

$$c=\lambda f$$

典型组织声速：

组织	声速 (m/s)
脂肪	~1450
肌肉	~1580
软组织平均值	1540(临床常用值)

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(2)声压波表达式(1D)

传播中的声波可表示为：

$$p(x,t)=p_0\cos (2\pi ft-kx)$$

其中：

• $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ 为波数
• $p_0$ 为压力振幅

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5.2 回波形成机制

超声图像亮度主要取决于界面反射与组织衰减。

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(1)组织衰减模型

声波在传播距离 $d$ 后，振幅衰减为：

$$A(d)=A_0{e}^{-\alpha d}$$

或以 dB 表示(更常见)：

$$A_{\mathrm{dB}}(d)=A_{\mathrm{dB}}(0)-{\alpha }_{\mathrm{dB}}d$$

其中：

• $\alpha$：线性衰减系数
• ${\alpha }_{\mathrm{dB}}$：以 dB/cm 表示的衰减常数

衰减随频率上升而增加，因此高频分辨率更好但穿透性更差。

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(2)反射系数(Acoustic Impedance)

不同组织界面的反射强度由声阻抗决定：

$$Z=\rho c$$

声阻抗差异越大，反射越强。

界面反射系数为：

$$R={\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\right)}^2$$

其中：

• $Z_1,Z_2$：两种组织的声阻抗
• $R$：反射强度比例(0~1)

这是 B-mode 成像亮度的最基础来源。

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5.3 B-mode 成像数学

B-mode(Brightness mode)是最常见的超声成像方式，涉及回波包络提取与对数压缩。

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(1)包络检测(Hilbert 变换)

接收信号通常为射频信号 $x(t)$，需要提取其包络：

$$A(t)=\sqrt{x^2(t)+{\hat{x}}^2(t)}$$

其中：

• $\hat{x}(t)$：$x(t)$ 的 Hilbert 变换
• $A(t)$：包络(代表强度)

包络代表界面反射的强度，是 B-mode 灰度图的核心。

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(2)B-mode 对数压缩(Log Compression)

原始 RF 包络的动态范围非常大(>60 dB)，需要压缩到可显示范围：

$$I_{\text{display }}=\log (1+A(t))$$

或常见的 dB 形式：

$$I_{\mathrm{dB}}=20{\log }_{10}(A)$$

对数压缩可：

• 压缩动态范围
• 增强弱反射组织的可见性
• 提高整体对比度

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(3)扫描线(Scanline)到图像

B-mode 最终图像是由多条 A-scan 组成。

数学上可视为：

$$I(x,y)=\text{LogCompress}(A(t))$$

其中 $x$ 由扫描角度决定，$y$ 为深度(传播时间)。

6. PET / SPECT 成像关键公式

PET(Positron Emission Tomography)与 SPECT(Single Photon Emission Computed Tomography)基于放射性核素衰变产生的γ光子来成像，其数学本质包括放射性衰变模型、泊松统计前向模型以及迭代重建(MLEM / OSEM)。本节给出 PET/SPECT 常用的核心公式。

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6.1 放射性衰变

PET/SPECT 的信号源是放射性核素，其示踪剂活度遵循指数衰减。

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(1)放射性衰减公式

$$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$

其中：

• $N(t)$：时间 $t$ 的核素数量
• $N_0$：初始核素数量
• $\lambda$：衰变常数，与半衰期相关

半衰期公式：

$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$$

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(2)活度(Activity)

衰变率(每秒衰变次数)为：

$$A(t)=\lambda N(t)$$

单位为贝可(Bq)。

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6.2 PET 前向模型（Forward Model）

PET/SPECT 探测到的投影数据本质上是放射性衰变 → γ光子发射 → 探测器响应的统计采样，通常遵循​泊松分布。

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(1)泊松统计模型

探测器 bin $i$ 的计数服从泊松分布：

$$y_i\sim \text{Poisson}({\lambda }_i)$$

其中：

• $y_i$：实际观测计数(sinogram 的一个像素)
• ${\lambda }_i$：期望计数

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(2)投影数据形成方程

PET 的前向投影可表示为：

$${\lambda }_i=\sum _j{a}_{ij}{x}_j+r_i$$

其中：

• $x_j$：像素 $j$ 处的放射性活度(待重建)

• $a_{ij}$：系统矩阵(system matrix)

  • 包含几何因素、衰减、散射、检测效率

• $r_i$：随机事件、散射事件、背景噪声

向量形式：

$$\mathit{\lambda }=A\mathbf{x}+\mathbf{r}$$

这是 PET 重建的基础。

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6.3 PET/SPECT 重建（MLEM / OSEM）

PET/SPECT 多采用基于统计的 ​MLEM 或 OSEM 迭代重建，源于最大似然估计(MLE)。

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(1)MLE(Maximum Likelihood Estimation)

观测数据 $y_i$ 的似然函数：

$$L(\mathbf{x})=\prod _i\frac{{\lambda }_i^{y_i}{e}^{-{\lambda }_i}}{y_i!}$$

其中 ${\lambda }_i=\sum _j{a}_{ij}{x}_j$。

对数似然：

$$\log L(\mathbf{x})=\sum _i[y_i\ln {\lambda }_i-{\lambda }_i]+C$$

MLE 目标：

$$\hat{\mathbf{x}}=\arg \underset{\mathbf{x}}{max}\log L(\mathbf{x})$$

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(2)MLEM(Expectation–Maximization)更新公式

经典的 MLEM 更新为：

$$x_j^{(k+1)}=x_j^{(k)}\frac{\sum _i{a}_{ij}\frac{y_i}{\sum _m{a}_{im}{x}_m^{(k)}}}{\sum _i{a}_{ij}}$$

其中：

• 第一个分数：数据一致性项
• 分母：归一化因子
• 形式类似于“前投影 → 归一化 → 反投影”

MLEM 收敛性好但速度慢。

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(3)OSEM(Ordered Subsets Expectation Maximization)

OSEM 将 sinogram 分成多个子集(subsets)，每次只用部分投影更新，提高速度。

OSEM 更新形式：

$$x_j^{(k+1)}=x_j^{(k)}\frac{\sum _{i\in S_k}{a}_{ij}\frac{y_i}{\sum _m{a}_{im}{x}_m^{(k)}}}{\sum _{i\in S_k}{a}_{ij}}$$

其中 $S_k$ 是第 $k$ 个子集。

• 加快重建速度(约快 MLEM 的 S 倍)
• 临床 PET/SPECT 重建常用 OSEM

7. X-ray / DR 成像关键公式

X-ray / DR(Digital Radiography)成像的核心来自光子穿透组织时的衰减与探测器响应。其物理模型通常可由 Lambert-Beer 定律 + 线积分投影模型 + 探测器增益校正 构成。本节总结 DR 成像中最重要的公式。

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7.1 投影模型（线积分）

在 DR(投影摄影)中，X 射线从单一方向穿过物体，穿透路径上的衰减构成二维影像像素值。

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(1)光子衰减模型(Lambert–Beer)

对于入射强度 $I_0$，透射强度 $I$ 为：

$$I=I_0\exp (-{\int }_L\mu (s)ds)$$

其中：

• $\mu (s)$：路径上位置 $s$ 处的衰减系数
• $L$：光线穿过的路径

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(2)投影(线积分)模型

定义投影：

$$p={\int }_L\mu (s)ds$$

则 DR 图像的理想亮度模型可表示为：

$$I=I_0{e}^{-p}$$

log-transform 后得到线性表达式：

$$p=-\ln \left(\frac{I}{I_0}\right)$$

意义：

• DR 是 Radon 变换的单角度特例(CT 是多角度)
• p 反映 X 射线的整体衰减量，决定成像亮度

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(3)亮度与衰减关系(直接表示)

亮度(透过率)通常与衰减呈负相关：

$$\text{Brightness}(x,y)\propto e^{-\mu (x,y)d}$$

其中 $d$ 为组织厚度。

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7.2 图像归一化与增益校正

真实探测器存在不均匀性、暗电流、增益偏差，因此必须对 DR 图像进行平场(Flat-field)校正，以恢复正确的衰减印记。

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(1)探测器响应模型

原始 DR 图像可表示为：

$$I_{\text{raw}}=G\cdot I_{\text{signal}}+D$$

其中：

• $G$：像素增益(gain)，随像素变化
• $D$：暗电流(dark field)
• $I_{\text{signal}}$：理想信号

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(2)平场校正(Flat-field Correction)

平场校正的公式为：

$$I_{\text{corr}}=\frac{I_{\text{raw}}-I_{\text{dark}}}{I_{\text{flat}}-I_{\text{dark}}}$$

其中：

• $I_{\text{raw}}$：原始采集图像
• $I_{\text{flat}}$：均匀照射下的平场图
• $I_{\text{dark}}$：无照射时的暗场图

意义：

• 校正增益不均匀(pixel gain variation)
• 校正暗电流偏置
• 恢复正确的射线透射信息

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(3)线性归一化(用于可视化)

校正后图像常做归一化：

$$I_{\text{norm}}=\frac{I_{\text{corr}}-min(I_{\text{corr}})}{max(I_{\text{corr}})-min(I_{\text{corr}})}$$

用于：

• 显示优化
• 后续图像处理 / 机器学习算法

8. 图像处理与增强的常用公式

医学影像处理中，预处理、增强和特征计算是 CT、MRI、超声、PET、X-ray 等各模态共同依赖的基础步骤。本节总结常用的标准化方法、滤波器、边缘算子，以及重采样中的仿射变换与插值公式。

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8.1 直方图与归一化（Normalization）

标准化是提高图像可比性与模型鲁棒性的关键步骤。

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(1)Min–Max 归一化

将值线性映射到 $[0,1]$：

$$x^{\prime }=\frac{x-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$$

适用于灰度归一、窗宽映射(如 CT 图像)。

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(2)Z-score 标准化

常用于深度学习模型的输入标准化：

$$x^{\prime }=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

其中：

• $\mu$：均值
• $\sigma$：标准差

使数据满足零均值、单位方差。

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(3) 直方图均衡化(Histogram Equalization)

通过增强对比度，使灰度分布更均匀。

CDF(累计分布函数)为：

$$\text{CDF}(x)=\sum _{i=0}^x\frac{h(i)}{N}$$

均衡化后的像素：

$$x^{\prime }=(L-1)\cdot \text{CDF}(x)$$

其中：

• $h(i)$：灰度 i 的频率
• $N$：像素总数
• $L$：灰度级数(通常 256)

适用于 DR、超声、部分 MRI 场景。

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8.2 滤波与特征计算

图像滤波用于平滑、去噪、边缘增强，是图像处理的基础操作。

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(1)高斯滤波(Gaussian Filter)

一维高斯核：

$$G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$$

二维高斯核：

$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}}$$

作用：

• 平滑图像
• 减少高频噪声
• 常用于去噪前处理(如 CT、X-ray、Ultrasound)

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(2)Sobel 边缘算子

用于检测水平或垂直边缘。

Sobel-x：

$$G_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 0& 2\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$$

Sobel-y：

$$G_y=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$$

梯度强度：

$$|\mathrm{\nabla }I|=\sqrt{(G_x\ast I{)}^2+(G_y\ast I{)}^2}$$

适用于边缘检测、形态分析。

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(3)Laplacian 边缘增强

二阶导数算子：

$${\mathrm{\nabla }}^{2}I=\frac{{\partial }^{2}I}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}I}{\partial y^2}$$

典型离散模板：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$$

可用于锐化或边缘增强。

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8.3 重采样与对齐（Resampling & Registration）

医学图像对齐常基于仿射变换与空间插值。

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(1)仿射变换矩阵

三维仿射变换(常用于 CT/MRI 注册)：

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}$$

齐次形式：

$$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{b}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ 1\end{array}\right]$$

其中：

• $\mathbf{A}$：包含旋转、缩放、剪切
• $\mathbf{b}$：平移向量

用于：

• 多模态配准(MRI ↔ CT)
• 图像对齐
• 数据标准化(e.g., 统一 voxel spacing)

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(2)三线性插值(Trilinear Interpolation)

重采样三维体数据最常用的方法。

三线性插值的通式：

$$f(x,y,z)=\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^1\sum _{k=0}^{1}f(i,j,k)(1-|x-i|)(1-|y-j|)(1-|z-k|)$$

含义：

• 每个点由周围 8 个体素加权求得
• 权重由距离线性决定

适用于：

• 体数据重采样
• CT/MRI 归一化 spacing
• 空间变换中的 resample 步骤

9. 深度学习中的关键公式（医学影像常用）

深度学习已广泛应用于医学影像的分割、分类、检测和重建任务。本节总结在医学影像任务中最常用的卷积公式、损失函数和评价指标，为后续算法理解提供数学基础。

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9.1 卷积层（2D / 3D）

卷积是 CNN 在医学影像中最重要的运算(例如 2D MRI 切片、3D CT 体数据、超声序列等)。

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(1)卷积运算公式

● 2D 卷积(图像)

$$y(i,j)=\sum _m\sum _{n}x(i-m,j-n)k(m,n)$$

● 3D 卷积(体数据)

$$y(i,j,k)=\sum _u\sum _v\sum _{w}x(i-u,j-v,k-w)k(u,v,w)$$

3D 卷积广泛用于 CT/MRI 分割和 3D 检测任务。

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(2)卷积输出尺寸计算公式

● 2D 输出尺寸

$$H_{\text{out}}=\frac{H_{\text{in}}-K+2P}{S}+1$$$$W_{\text{out}}=\frac{W_{\text{in}}-K+2P}{S}+1$$

● 3D 输出尺寸

$$D_{\text{out}}=\frac{D_{\text{in}}-K+2P}{S}+1$$

参数说明：

• $K$：kernel size
• $S$：stride
• $P$：padding
• 输入/输出维度用于 CNN 结构设计(UNet、VNet 等)

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9.2 损失函数（Loss Functions）

医学影像任务常涉及类别不平衡，因此 Dice Loss、Focal Loss 在分割与检测任务中尤其常用。

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(1)Dice Loss(分割常用)

Dice 系数：

$$\text{Dice}=\frac{2|A\cap B|}{|A|+|B|}$$

Dice Loss：

$${\mathcal{L}}_{Dice}=1-\text{Dice}$$

用于分割任务(尤其是器官、病灶、小目标)。

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(2)Cross-Entropy Loss(分类/分割基础)

● 二分类交叉熵

$${\mathcal{L}}_{CE}=-[y\log (\hat{y})+(1-y)\log (1-\hat{y})]$$

● 多分类交叉熵

$${\mathcal{L}}_{CE}=-\sum _{c=1}^C{y}_c\log ({\hat{y}}_c)$$

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(3)Focal Loss(解决类别不平衡)

Focal Loss 抑制简单样本，突出困难样本：

$${\mathcal{L}}_{Focal}=-(1-\hat{y}{)}^{\gamma }y\log (\hat{y})$$

其中：

• $\gamma$：调节难样本的权重(典型值 1–3)
• 常用于肺结节检测、肿瘤检测等类别极不平衡任务

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9.3 评价指标（Segmentation & Classification Metrics）

评价指标反映模型在医学影像任务中的性能，尤其是在病灶分割、器官分割和病理分类中尤为关键。

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(1)Dice 系数

$$\text{Dice}=\frac{2|A\cap B|}{|A|+|B|}$$

• 0(差) → 1(完美)
• 常用于 CT/MRI 器官/病灶分割评估

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(2)IoU(Intersection over Union)

$$\text{IoU}=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$

与 Dice 关系：

$$\text{Dice}=\frac{2\text{IoU}}{1+\text{IoU}}$$

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(3)Sensitivity(敏感度)

$$\text{Sensitivity}=\frac{TP}{TP+FN}$$

衡量“发现病灶”的能力。

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(4)Specificity(特异度)

$$\text{Specificity}=\frac{TN}{TN+FP}$$

衡量“避免误报”的能力。

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