2.1.1. 物品的协同过滤¶
基于物品的协同过滤（ItemCF）:cite:linden2003amazon 的核心思想是：用户的兴趣具有连贯性，喜欢某个物品的用户往往也会对相似的物品感兴趣。ItemCF关注的问题是“和你喜欢的物品相似的还有什么”，通过计算物品之间的相似度来生成推荐。
图2.1.1 ItemCF 原理示意图¶
从上图可以看到，当我们要给左方用户推荐物品时，ItemCF会分析T恤和夹克之间的相似性。由于右方三个用户都同时喜欢这两种服装，系统判断它们具有较高的相似性。既然左方用户喜欢T恤，那么夹克就成为了一个不错的推荐选择。
2.1.1.1. ItemCF核心算法¶
2.1.1.1.1. 物品相似度计算¶
在大多数实际场景中，只有用户是否对物品有过交互行为的数据（如点击、购买、收藏等），而没有具体的评分信息。ItemCF 使用余弦相似度量化物品间的相似程度：
其中 \(|N(i)|\) 表示与物品 \(i\) 有交互的用户总数，\(C[i][j]\) 是两个物品的共现次数（同时对两个物品有过行为的用户数）。分母对共现次数进行标准化，防止热门商品占据绝对优势。
2.1.1.1.2. 候选物品推荐¶
有了物品相似度矩阵，ItemCF 的线上推荐流程如下：
首先，系统会选取用户最近交互的物品作为兴趣种子（通常是几百个），然后为每个种子物品找到最相似的若干个候选物品（如Top-10），这样可以快速生成大量候选集合。接下来计算用户\(u\)对候选物品\(i\)的兴趣分数：
其中\(N(u)\)是用户\(u\)交互过的物品集合，\(w_{ij}\)是物品\(i\)和\(j\)的相似度，\(r_{uj}\)表示用户对物品\(j\)的兴趣强度（可以是简单的1，也可以根据交互时间、类型等设置不同权重）。
最终，系统对所有候选物品按兴趣分数排序，选择Top-N物品作为ItemCF通道的推荐结果。
2.1.1.1.3. 计算效率优化¶
直接计算所有物品对相似度的复杂度为 \(O(|I|^2 \cdot |U|)\)，但大多数物品对之间没有共同的用户交互，相似度必然为 0。基于用户-物品倒排表可以大幅提速：为每个用户维护一个物品交互列表，遍历时将列表中的物品两两配对，累加共现矩阵 \(C[i][j]\)，再除以 \(\sqrt{|N(i)||N(j)|}\) 得到余弦相似度，只需计算真正有共同用户的物品对。
优化后的复杂度约为 \(O(R \cdot \bar{m})\)（\(R\) 为总交互数，\(\bar{m}\) 为用户平均交互物品数），在稀疏数据场景下由于 \(\bar{m} \ll |I|\)，效率远高于暴力计算。
2.1.1.1.4. 处理评分数据的相似度计算¶
前面的余弦相似度适用于隐式反馈场景（如点击、浏览），当有显式评分数据（如5星评分）时，皮尔逊相关系数能更好地捕获物品间的相似性模式 (Sarwar et al., 2001)：
其中\(U_{ij}\)表示同时评价过物品\(i\)和\(j\)的用户集合，\(r_{ui}\)是用户\(u\)对物品\(i\)的评分，\(\bar{r}_i\)是物品\(i\)的平均评分。
皮尔逊相关系数通过中心化处理，消除了不同物品评分分布的差异，关注评分的相对趋势而非绝对值。基于它可以预测用户对未接触物品的评分：
这个公式以物品 \(j\) 的平均评分为基准，根据用户对相似物品的评分偏好进行调整。在大规模推荐系统中，出于计算复杂度和数据稀疏性的考虑，多数系统仍倾向于使用余弦相似度，辅以加权或归一化来处理评分差异。
2.1.1.2. ItemCF评分预测示例¶
表格 表2.1.1 是和 2.1.3节 相同的用户评分数据。
用户1 |
用户2 |
用户3 |
用户4 |
用户5 |
|
|---|---|---|---|---|---|
物品1 |
5 |
3 |
4 |
3 |
1 |
物品2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
5 |
物品3 |
4 |
2 |
4 |
1 |
5 |
物品4 |
4 |
3 |
3 |
5 |
2 |
物品5 |
? |
3 |
5 |
4 |
1 |
计算物品之间的相似度，以物品5和物品1之间的皮尔逊相关系数为例。\(\hat{r}_{item5}=3.25,\ \hat{r}_{item1}=2.75\), 向量减去均值: \(\text{item5}:(-0.25, 1.75, 0.75, -2.25) \quad \text{item1}: (0.25, 1.25, 0.25, -1.75)\).
根据皮尔逊相关系数，可以找到与物品5最相似的两个物品是物品1和物品4。基于相似物品，根据上面的计算公式 (2.1.4)，可以计算出 用户1 对物品5的最终得分是:
2.1.1.3. 代码实践¶
import numpy as np
item_data = {
'item1': {'user1': 5, 'user2': 3, 'user3': 4, 'user4': 3, 'user5': 1},
'item2': {'user1': 3, 'user2': 1, 'user3': 3, 'user4': 3, 'user5': 5},
'item3': {'user1': 4, 'user2': 2, 'user3': 4, 'user4': 1, 'user5': 5},
'item4': {'user1': 4, 'user2': 3, 'user3': 3, 'user4': 5, 'user5': 2},
'item5': {'user2': 3, 'user3': 5, 'user4': 4, 'user5': 1},
}
计算物品间的相似度矩阵：
import pandas as pd
similarity_matrix = pd.DataFrame(
np.identity(len(item_data)),
index=item_data.keys(),
columns=item_data.keys(),
)
# 遍历每条物品-用户评分数据
for i1, users1 in item_data.items():
for i2, users2 in item_data.items():
if i1 == i2:
continue
vec1, vec2 = [], []
for user, rating1 in users1.items():
rating2 = users2.get(user, -1)
if rating2 == -1:
continue
vec1.append(rating1)
vec2.append(rating2)
similarity_matrix[i1][i2] = np.corrcoef(vec1, vec2)[0][1]
print(similarity_matrix)
从user1交互过的物品中，找到与item5最相似的2个物品：
target_user = 'user1'
target_item = 'item5'
num = 2
sim_items = []
sim_items_list = similarity_matrix[target_item].sort_values(ascending=False).index.tolist()
for item in sim_items_list:
# 如果target_user对物品item评分过
if target_user in item_data[item]:
sim_items.append(item)
if len(sim_items) == num:
break
print(f'与物品{target_item}最相似的{num}个物品为：{sim_items}')
预测用户1对物品5的评分：
target_user_mean_rating = np.mean(list(item_data[target_item].values()))
weighted_scores = 0.
corr_values_sum = 0.
for item in sim_items:
corr_value = similarity_matrix[target_item][item]
user_mean_rating = np.mean(list(item_data[item].values()))
weighted_scores += corr_value * (item_data[item][target_user] - user_mean_rating)
corr_values_sum += corr_value
target_item_pred = target_user_mean_rating + weighted_scores / corr_values_sum
print(f'用户{target_user}对物品{target_item}的预测评分为：{target_item_pred}')
下面我们训练和评估完整的ItemCF模型。
from funrec import run_experiment
run_experiment('item_cf')