1.1 信号的三种视角

核心问题： 什么是信号？如何从不同角度理解信号？

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对应的交互式版本可在 Google Colab 打开，统一使用方式见 第0章说明。

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什么是信号

定义： 信号是随时间变化的物理量，携带信息。

例子：

• 音频信号：麦克风录制的声波
• 图像信号：相机拍摄的光强度
• 生物信号：心电图（ECG）、脑电图（EEG）
• 通信信号：无线电波、光纤中的光

从维度上看，音频、语音、传感器序列通常是一维信号，核心变量随时间变化；图像天然是二维信号，核心变量随空间位置变化；而语谱图、协方差矩阵、Hankel矩阵这类对象虽然来自一维序列，但会把信号重新组织成二维表示，便于后续分析和特征提取。这个视角在后续章节会继续出现：1D CNN处理时间序列，2D CNN处理图像，Transformer则进一步处理更一般的序列和网格结构。

图1.0：信号的维度视角。左：一维时间信号（波形）；中：二维空间信号（图像）；右：由一维信号派生的二维表示（语谱图）。三者的核心区别在于信号变量沿哪些轴变化。

代码文件： code/ch01_dsp/signal_dimensions.py
运行方式： python code/ch01_dsp/signal_dimensions.py

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三种视角

1. 时域视角（Time Domain）

定义： 信号随时间的变化。

表示： $x(t)$ 或 $x[n]$（离散）

优点：

• 直观，容易理解
• 反映信号的实际物理过程

缺点：

• 难以看出信号的频率成分
• 难以分析信号的周期性

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2. 频域视角（Frequency Domain）

定义： 信号由哪些频率成分组成，每个频率的强度是多少。

表示： $X(f)$ 或 $X[k]$（离散）

优点：

• 清晰看出信号的频率成分
• 容易分析信号的周期性和规律性

缺点：

• 失去时间信息（不知道什么时候出现这个频率）

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3. 时频视角（Time-Frequency Domain）

定义： 信号在不同时刻的频率成分如何变化。

表示： 时频图（Spectrogram）

优点：

• 既保留时间信息，又保留频率信息
• 适合分析非平稳信号（频率随时间变化）

缺点：

• 计算复杂度高
• 时间分辨率和频率分辨率不能同时很高（不确定性原理）

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下图用同一个信号展示三种视角的差异：前半段包含 100 Hz 和 300 Hz，后半段切换为 200 Hz 和 500 Hz。

图1.1：同一信号的三种视角。上：时域波形，可以看到信号在中间发生了变化，但看不出频率；中：频域频谱，可以看到四个频率成分，但无法区分它们分别在哪个时段出现；下：时频图（语谱图），同时展示了时间和频率信息，清晰可见前后两段的频率切换。

代码文件： code/ch01_dsp/signal_three_views.py
运行方式： python code/ch01_dsp/signal_three_views.py

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三种视角的转换

时域 ↔ 频域：傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT）：

$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

逆变换：

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}$$

直观理解：

• 正变换：分解信号，看它由哪些频率组成
• 逆变换：合成信号，用不同频率的正弦波叠加

时域 → 时频域：短时傅里叶变换（STFT）

思想： 把信号分成小段，对每段做傅里叶变换。

$$X(t,f)=\int x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

其中 $w(t)$ 是窗函数（决定每段的长度）。

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实际应用

音乐制作

• 时域：看波形，调整音量
• 频域：看频谱，调整音色（EQ）
• 时频：看频谱图，找出噪音出现的时刻

医学诊断

• 心电图（ECG）：时域看心跳节奏，频域看异常心律
• 脑电图（EEG）：时频分析看脑波的变化

通信系统

• 调制：把信息信号转换到高频（频域操作）
• 解调：把高频信号转换回信息信号（频域操作）

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本节小结

信号可以从三个角度理解：

• 时域：信号随时间的变化（直观）
• 频域：信号的频率成分（分析）
• 时频：信号在不同时刻的频率变化（完整）

三种视角通过傅里叶变换相互转换。

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与后续章节的联系

本节的核心不是把信号强行类比成 LLM，而是提供一套后续章节会反复用到的结构语言：

1. 离散序列视角

   • 文本 token 序列可以看作离散序列
   • 这和一维信号在数学上是同一类对象

2. 多表示视角

   • 时域、频域、时频域对应“直接观测、结构分解、局部变化”三种看法
   • 后续章节中的 embedding、注意力和表示学习，也是在不同表示空间里分析同一对象

3. 位置与顺序

   • 位置编码和 RoPE 之所以重要，是因为序列建模必须显式处理顺序信息
   • 这和时域分析里“信号随时间变化”的问题是同构的

4. 分层抽象

   • 时频分析强调局部与全局信息的同时保留
   • 这一思想会在 Transformer 和多模态模型中继续出现

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下一节： 1.2 傅里叶变换与频谱分析