第1章扩展：高级DSP话题

版本： v2.0
最后更新： 2026-05-26

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对应的交互式版本可在 Google Colab 打开，统一使用方式见 第0章说明。

本文档包含第1章的深度扩展内容，适合想深入理解DSP的读者。

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E1.1 窗函数详解

为什么需要窗函数

在实际应用中，我们只能处理有限长度的信号。直接对有限长信号做FFT会产生频谱泄漏（spectral leakage）。

问题： 如果信号长度不是2的幂次，或者信号在边界处不连续，FFT会产生虚假的频率成分。

解决方案： 用窗函数逐渐减小信号的边界值。

常见窗函数

1. 矩形窗（Rectangular Window）

$$w[n]=1,0\le n<N$$

优点： 频率分辨率最好

缺点： 频谱泄漏最严重

2. Hann窗

$$w[n]=0.5-0.5\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$$

优点： 平衡的时频特性

缺点： 频率分辨率一般

3. Hamming窗

$$w[n]=0.54-0.46\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$$

优点： 比Hann窗的频谱泄漏更小

缺点： 边界不为0

4. Blackman窗

$$w[n]=0.42-0.5\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+0.08\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)$$

优点： 频谱泄漏最小

缺点： 频率分辨率最差

选择窗函数的建议

• 需要高频率分辨率？ → 矩形窗或Hamming窗
• 需要低频谱泄漏？ → Blackman窗
• 不确定？ → Hann窗（最平衡）

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E1.2 多速率信号处理

采样率转换

有时需要改变信号的采样率：

• 上采样：增加采样率（插值）
• 下采样：减少采样率（抽取）

上采样（Upsampling）

步骤：

1. 在原始样本之间插入0
2. 用低通滤波器平滑

数学表达：

$$y[n]=\{\begin{array}{ll}x[n/L]& \text{if }n\text{ is multiple of }L\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

然后用低通滤波器处理。

下采样（Downsampling）

步骤：

1. 用低通滤波器防止混叠
2. 每M个样本取一个

数学表达：

$$y[n]=x[nM]$$

应用

• 音频处理：转换采样率（如44.1 kHz → 48 kHz）
• 图像处理：图像金字塔
• 通信系统：多速率滤波器组

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E1.3 随机信号处理

确定性信号 vs 随机信号

确定性信号： 可以用公式精确描述（如正弦波）

随机信号： 不可预测，只能用统计特性描述（如噪音）

自相关函数（Autocorrelation）

定义：

$$R[k]=E[x[n]x[n+k]]$$

含义： 信号与其延迟版本的相似程度

应用：

• 检测周期性
• 估计信号功率
• 设计维纳滤波器

互相关函数（Cross-correlation）

定义：

$$R_{xy}[k]=E[x[n]y[n+k]]$$

应用：

• 信号检测
• 时延估计
• 信号匹配

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）

定义：

$$S[k]=\mathcal{F}(R[k])$$

含义： 信号在不同频率的功率分布

估计方法：

• Periodogram：直接计算
• Welch方法：分段平均（更稳定）

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E1.4 滤波器设计

FIR滤波器设计

有限冲激响应（FIR）滤波器：

$$y[n]=\sum _{k=0}^{M-1}{b}_{k}x[n-k]$$

优点：

• 总是稳定
• 可以有线性相位
• 易于实现

缺点：

• 需要很多系数才能达到陡峭的截止

IIR滤波器设计

无限冲激响应（IIR）滤波器：

$$y[n]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]-\sum _{k=1}^N{a}_{k}y[n-k]$$

优点：

• 用少量系数达到陡峭的截止
• 计算效率高

缺点：

• 可能不稳定
• 相位响应非线性

常见滤波器类型

1. Butterworth滤波器：最平坦的通带
2. Chebyshev滤波器：更陡峭的截止
3. Elliptic滤波器：最陡峭的截止

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E1.5 与深度学习的连接

卷积神经网络中的卷积

DSP中的卷积：

y[n] = sum(x[m] * h[n-m] for m)

CNN中的卷积：

output = sum(input * learned_kernel)

本质相同： 都是加权求和，只是权重的来源不同。

位置编码与傅里叶变换

傅里叶变换： 用不同频率的正弦波分解信号

Transformer位置编码： 用不同频率的正弦波编码位置

# 傅里叶变换
X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))

# 位置编码
PE[pos, 2i] = sin(pos / 10000^(2i/d))
PE[pos, 2i+1] = cos(pos / 10000^(2i/d))

启示： 位置编码让Transformer能理解序列的顺序。

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E1.6 推荐论文

经典论文

1. Cooley & Tukey (1965) - "An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series"

   • FFT算法的原始论文
   • 改变了信号处理的历史

2. Nyquist (1928) - "Certain Topics in Telegraph Transmission Theory"

   • 采样定理的原始论文
   • 奠定了数字信号处理的基础

现代应用

1. Vaswani et al. (2017) - "Attention Is All You Need"

   • Transformer论文
   • 位置编码的设计灵感来自傅里叶变换

2. He et al. (2016) - "Deep Residual Learning for Image Recognition"

   • ResNet论文
   • 卷积神经网络的经典之作

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E1.7 进一步学习

书籍

• "Discrete-Time Signal Processing" by Oppenheim & Schafer

  • DSP的经典教科书
  • 深度和广度都很好

• "The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing" by Smith

  • 更直观的讲解
  • 适合初学者

在线资源

• MIT OpenCourseWare - 6.341 Discrete-Time Signal Processing
• Stanford - EE261 The Fourier Transform and its Applications
• Coursera - Digital Signal Processing Specialization

实践项目

1. 音频处理

   • 实现均衡器（EQ）
   • 实现噪音消除

2. 图像处理

   • 实现图像滤波
   • 实现图像压缩

3. 通信系统

   • 实现调制和解调
   • 实现信道均衡

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