1.6 信号检测

核心问题： 如何判断信号是否存在？如何在噪声中检测信号？

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对应的交互式版本可在 Google Colab 打开，统一使用方式见 第0章说明。

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检测问题的数学框架

问题设置

观测模型：

$$y[n]=\{\begin{array}{ll}w[n]& \text{假设 }{H}_0\text{（无信号）}\\ s[n]+w[n]& \text{假设 }{H}_1\text{（有信号）}\end{array}$$

其中：

• $y[n]$：观测信号
• $s[n]$：待检测的信号
• $w[n]$：加性高斯白噪声（AWGN）

检测器的任务

给定观测 $y[n]$，判断：

• $H_0$：信号不存在（零假设）
• $H_1$：信号存在（备择假设）

决策规则：

$$\text{如果 }T(y)>\gamma \text{，则判定 }{H}_1\text{；否则判定 }{H}_0$$

其中 $T(y)$ 是检验统计量，$\gamma$ 是判决阈值。

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假设检验理论

两类错误

第一类错误（假警报，False Alarm）：

$$P_{fa}=P(\text{判定 }{H}_1|H_0\text{ 真实})$$

含义：信号不存在，但错误地判定为存在。

第二类错误（漏检，Miss Detection）：

$$P_{md}=P(\text{判定 }{H}_0|H_1\text{ 真实})$$

含义：信号存在，但错误地判定为不存在。

检测概率：

$$P_d=1-P_{md}=P(\text{判定 }{H}_1|H_1\text{ 真实})$$

含义：正确检测到信号的概率。

权衡关系

关键观察： $P_{fa}$ 和 $P_d$ 不能同时很小。

• 降低阈值 $\gamma$ → $P_d$ 增加，$P_{fa}$ 也增加
• 提高阈值 $\gamma$ → $P_{fa}$ 减少，$P_d$ 也减少

设计目标： 在给定 $P_{fa}$ 的约束下，最大化 $P_d$。

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似然比检验（Likelihood Ratio Test, LRT）

最优检验

Neyman-Pearson引理： 最优检验是似然比检验。

$$\mathrm{\Lambda }(y)=\frac{p(y|H_1)}{p(y|H_0)}\stackrel{H_1}{\gtrless }\gamma$$

其中 $p(y|H_i)$ 是在假设 $H_i$ 下的似然函数。

高斯信号的LRT

假设：

• 信号 $s[n]$ 已知
• 噪声是AWGN，方差为 ${\sigma }^2$

似然函数：

$$p(y|H_0)=\prod _n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{y[n{]}^2}{2{\sigma }^2})$$$$p(y|H_1)=\prod _n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{(y[n]-s[n]{)}^2}{2{\sigma }^2})$$

对数似然比：

$$\ln \mathrm{\Lambda }(y)=\sum _n\frac{2y[n]s[n]-s[n{]}^2}{2{\sigma }^2}$$

简化后的检验统计量：

$$T(y)=\sum _{n}y[n]s[n]\stackrel{H_1}{\gtrless }\gamma$$

直观理解： 检验统计量是观测信号与已知信号的相关性。

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接收机工作特性（Receiver Operating Characteristic, ROC）

ROC曲线

定义： 在不同阈值下，$P_d$ 与 $P_{fa}$ 的关系曲线。

绘制方法：

1. 改变阈值 $\gamma$
2. 对每个 $\gamma$，计算 $P_d$ 和 $P_{fa}$
3. 绘制 $(P_{fa},P_d)$ 曲线

ROC曲线的性质

完美检测器：

• 曲线经过点 $(0,1)$
• 可以同时实现 $P_{fa}=0$ 和 $P_d=1$

随机检测器：

• 曲线是对角线 $P_d=P_{fa}$
• 检测性能等同于随机猜测

实际检测器：

• 曲线在对角线上方
• 越接近左上角，性能越好

代码文件： code/ch01_dsp/signal_detection.py
运行方式： python code/ch01_dsp/signal_detection.py

图1.6：这组图分成两个层面来展示检测权衡。左图固定检测器与阈值，观察不同 SNR 下检测概率 $P_d$ 和虚警率 $P_{fa}$ 如何变化；右图固定 SNR、扫描不同阈值，得到标准 ROC 曲线。两者合起来说明：阈值决定单点工作位置，而 SNR 决定整条性能曲线能否向左上角移动。

曲线下面积（AUC）

定义： ROC曲线下的面积。

$$\text{AUC}={\int }_0^1{P}_d(P_{fa})d{P}_{fa}$$

性质：

• AUC = 1：完美检测器
• AUC = 0.5：随机检测器
• AUC越大，检测器越好

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常见检测器

1. 能量检测器（Energy Detector）

适用场景： 信号未知，只知道噪声功率。

检验统计量：

$$T(y)=\sum _{n=0}^{N-1}|y[n]{|}^2$$

决策规则：

$$T(y)\stackrel{H_1}{\gtrless }\gamma$$

优点：

• 简单，计算快
• 不需要知道信号形式

缺点：

• 性能不如相关检测器
• 对噪声功率估计敏感

2. 相关检测器（Correlation Detector）

适用场景： 信号已知。

检验统计量：

$$T(y)=\sum _{n=0}^{N-1}y[n]s[n]$$

决策规则：

$$T(y)\stackrel{H_1}{\gtrless }\gamma$$

优点：

• 在给定虚警率、已知信号和高斯噪声等假设下具有 Neyman-Pearson 最优性
• 对已知信号有较高的检测概率

缺点：

• 需要精确知道信号

3. 匹配滤波器（Matched Filter）

思想： 用与信号相匹配的滤波器。这是卷积在检测中的直接应用。

冲激响应：

$$h[n]=s[N-1-n]$$

其中 $s[n]$ 是待检测的信号，$N$ 是信号长度。

输出（卷积运算）：

$$y_{\text{out}}[n]=\sum _{m=0}^{N-1}y[m]h[n-m]=\sum _{m=0}^{N-1}y[m]s[N-1-n+m]$$

在 $n=N-1$ 时的输出：

$$y_{\text{out}}[N-1]=\sum _{m=0}^{N-1}y[m]s[m]=T(y)$$

这正好是相关检测器的统计量！

与相关检测器的关系：

• 相关检测器：直接计算 $T(y)=\sum _{n=0}^{N-1}y[n]s[n]$
• 匹配滤波器：通过卷积实现相同的功能，在 $n=N-1$ 时输出等于 $T(y)$
• 本质：两者都是卷积运算，只是实现方式不同

优点：

• 在已知信号和高斯噪声等条件下最大化输出信噪比（SNR）
• 可实现相关检测器对应的检验统计量
• 实现灵活 — 可用硬件或软件实现卷积
• 直观理解 — 滤波器与信号"匹配"程度越高，输出越大

缺点：

• 需要精确知道信号形式
• 计算复杂度较高（$O(N^2)$），可用FFT加速到 $O(N\log N)$

应用场景：

• 雷达系统：检测已知脉冲信号
• 通信系统：检测已知调制信号
• 声纳系统：检测已知声纳信号
• 医学诊断：检测已知的生物信号模式

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检测性能分析

信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）

定义：

$$\text{SNR}=\frac{P_s}{P_n}=\frac{\sum _{n}s[n{]}^2}{{\sigma }^2}$$

其中 $P_s$ 是信号功率，$P_n$ 是噪声功率。

单位： dB（分贝）

$${\text{SNR}}_{\text{dB}}=10{\log }_{10}(\text{SNR})$$

检测性能与SNR的关系

高斯信号的检测性能：

对于相关检测器，检验统计量 $T(y)$ 在两个假设下的分布为：

$$T(y)|H_0\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2\parallel s{\parallel }^2)$$$$T(y)|H_1\sim \mathcal{N}(\parallel s{\parallel }^2,{\sigma }^2\parallel s{\parallel }^2)$$

检测概率：

$$P_d=Q(\sqrt{2\cdot \text{SNR}}-Q^{-1}(P_{fa}))$$

其中 $Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2/2}dt$ 是Q函数。

关键观察：

• SNR越高，$P_d$ 越高
• 要达到相同的 $P_d$，SNR越高越容易

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典型场景

检测框架的形式相同，差别主要在于信号先验、阈值设置和误判代价。

1. 雷达系统

• 已知发射信号时，通常直接用相关检测器或匹配滤波器
• 通过 ROC 曲线选择阈值，在虚警率和漏检率之间做权衡
• 航空管制更怕虚警，防空场景更怕漏检

2. 通信系统

代码文件： code/ch01_dsp/signal_detection.py
运行方式： python code/ch01_dsp/signal_detection.py

图1.7：噪声背景下的信号检测示意。检测器通过统计量把“纯噪声”和“信号+噪声”两种情况分开。

• 用于判断接收端是否真正收到了有效信号
• 同步检测和导频检测本质上都是“在噪声里找已知模式”

3. 医学诊断

• ECG 常用来检测心律不齐
• EEG 常用来检测癫痫发作
• EMG 常用来检测肌肉异常

4. 地震学

• 用台站观测判断是否发生地震
• 结合多个传感器做震源定位
• 在早期波形上尽快触发预警

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本节小结

信号检测是信号处理的重要应用：

• 数学框架：假设检验、似然比检验
• 性能指标：$P_d$、$P_{fa}$、ROC曲线
• 常见检测器：能量检测器、相关检测器、匹配滤波器
  • 匹配滤波器是卷积在检测中的应用，在已知信号和高斯噪声等假设下具有最优性
• 性能分析：SNR与检测性能的关系
  • 本质上是在“信号已知程度”和“噪声不确定性”之间做设计
• 典型场景：雷达、通信、医学、地震学

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与后续章节的联系

检测理论提供了一套“在不确定性下做判断”的框架，后续章节会反复用到：二元判断、似然比较、阈值权衡和相关性匹配。这些思想会在第 5 章训练目标、第 6 章评估和第 8 章工程部署中继续出现。

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下一节： 1.7 信号估计