1.3 滤波器与卷积

核心问题： 什么是滤波器？卷积如何实现滤波？

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对应的交互式版本可在 Google Colab 打开，统一使用方式见 第0章说明。

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什么是滤波器

定义： 滤波器是一个系统，它改变信号的频率成分。

目的：

• 去掉不想要的频率（噪音、干扰）
• 保留想要的频率（信息）

例子：

• 低通滤波器：保留低频，去掉高频（平滑信号）
• 高通滤波器：保留高频，去掉低频（突出边界）
• 带通滤波器：保留某个频率范围

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滤波器的数学表示

频域表示

滤波器的频率响应：

$$H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}$$

其中：

• $X(f)$：输入信号的频谱
• $Y(f)$：输出信号的频谱
• $H(f)$：滤波器的频率响应

滤波过程：

$$Y(f)=H(f)\cdot X(f)$$

时域表示

滤波器的冲激响应：

$$h[n]$$

滤波过程（卷积）：

$$y[n]=\sum _{m}x[m]h[n-m]=x[n]\ast h[n]$$

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卷积的直观理解

什么是卷积

卷积是一种运算，它把两个信号混合在一起。

$$y[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]h[n-m]$$

卷积的步骤

1. 翻转：把 $h[m]$ 翻转成 $h[-m]$
2. 平移：平移 $n$ 个单位
3. 相乘：$x[m]$ 和平移后的 $h[n-m]$ 相乘
4. 求和：把所有乘积加起来

卷积的性质

交换律：

$$x\ast h=h\ast x$$

结合律：

$$(x\ast h_1)\ast h_2=x\ast (h_1\ast h_2)$$

分配律：

$$x\ast (h_1+h_2)=x\ast h_1+x\ast h_2$$

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常见滤波器

1. 低通滤波器（Low-Pass Filter）

目的： 保留低频，去掉高频。

冲激响应：

$$h[n]=\frac{\sin ({\omega }_{c}n)}{\pi n}$$

其中 ${\omega }_c$ 是截止频率。

应用： 平滑信号，去掉高频噪音。

2. 高通滤波器（High-Pass Filter）

目的： 保留高频，去掉低频。

冲激响应：

$$h[n]=\delta [n]-\frac{\sin ({\omega }_{c}n)}{\pi n}$$

应用： 突出边界，检测快速变化。

3. 移动平均滤波器（Moving Average）

最简单的低通滤波器：

$$h[n]=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{M}& 0\le n<M\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

效果： 平滑信号。

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卷积定理

时域卷积 = 频域乘法

$$\mathcal{F}(x\ast h)=\mathcal{F}(x)\cdot \mathcal{F}(h)$$

为什么重要

时域卷积很慢： $O(N^2)$

频域乘法很快： $O(N\log N)$（用FFT）

快速卷积算法

1. 对 $x$ 和 $h$ 做FFT
2. 在频域相乘
3. 做逆FFT

结果： 速度快100倍以上！

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CNN中的卷积

从DSP到深度学习

DSP中的卷积：

• 滤波器 $h$ 是固定的（设计好的）
• 用来处理信号

CNN中的卷积：

• 卷积核是可学习的参数
• 网络从数据中学习适合当前任务的卷积核

启示

CNN可以看作是从数据中学习滤波器，而不是手工指定滤波器。

每个卷积层学习多个滤波器：

• 第一层：学习边界检测器
• 第二层：学习纹理检测器
• 第三层：学习形状检测器
• ...

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卷积在信号检测中的应用

卷积不仅用于滤波，还是信号检测的核心工具。特别是匹配滤波器（Matched Filter）是卷积在检测中的直接应用。

匹配滤波器的思想： 用与待检测信号相匹配的滤波器进行卷积，输出最大时表示信号存在。

关键性质：

• 在已知信号和高斯噪声等条件下最大化输出信噪比（SNR）
• 可实现相关检测器对应的检验统计量
• 本质上是卷积运算

代码文件： code/ch01_dsp/random_signals.py
运行方式： python code/ch01_dsp/random_signals.py

图1.3：卷积对信号的作用示意。滤波器通过卷积抑制噪声、突出目标结构，这也是匹配滤波器能够提升检测性能的直观基础。

详见 1.6 信号检测 - 匹配滤波器

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本节小结

滤波器通过卷积改变信号的频率成分：

• 时域：卷积运算
• 频域：乘法运算
• 卷积定理：连接时域和频域

CNN中的卷积核就是可学习的滤波器。

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与后续章节的联系

本节强调的是一个更基础的观点：滤波和卷积都在做“按结构加权”的信息提取。

1. DSP 到 CNN

   • DSP 中的滤波器是手工设计的
   • CNN 中的卷积核是数据驱动学习出来的
   • 两者共享“局部模式提取”的结构

2. 卷积到注意力

   • 卷积使用固定核，关注局部邻域
   • 注意力使用动态权重，关注与当前 token 相关的上下文
   • 两者都可以理解为对信息的加权聚合，只是权重是否随输入变化不同

3. 多尺度与多头

   • 滤波器组对应不同频段的分析
   • 多头注意力对应不同关系模式的并行建模
   • 后续章节会继续用这种“多视角提取”的思路理解表示学习

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下一节： 1.4 时频分析